Delphi
Borland

Codification
Codage
Numération

Codage de l’information

Un octet peut représenter plusieurs choses selon la variable qui a été déclarée :

Alphanumérique (texte)

Code ASCII première et seconde page.

La première page peut être interprétée comme étant codée sur 7 bits avec le bit de poids fort à 0. La seconde page correspond alors au bit de poids fort à 1.

Arithmétique non signée

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Il est impossible en informatique de représenter tous les éléments de N

Nous ne pouvons représenter qu’un nombre fini d’entiers, appartenant à un intervalle donné [0; 2ⁿ-1], où n correspond au nombre de bits utilisés

Nombre non signé, sur un octet.

min=O=OOOOOOOO=OO

max=255=11111111=FF=2⁸-1

Nombre non signé sur deux octets

min=0

max=1111111111111111=FFFF=2¹⁶-1=65535

Nombre non signé sur 4 octets

min=0

max=FFFFFFFF=2³²-1=65536² -1= 4 294 967 295

Nombre non signé sur n octets

min=0

max=2⁸ⁿ-1

Arithmétique signée

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Représentation bornée de Z

Nombre signé sur un octet

Codé sur un octet, le bit de poids fort, est considéré comme bit de signe.

Convention habituelle : si ce bit vaut zéro, le nombre est considéré comme positif.

Il varie donc entre 0 et 1111111=2⁷-1=127

Si ce bit vaut 1, le nombre est négatif.

Il en résulte que 0 a deux représentations +0=00000000 et -0=10000000

L’intervalle de Z est donc [-2⁷+1 , 2⁷-1]=[-127 , +127]

Bit de signe	bit 7	bit 6	bit 5	bit 4	bit 3	bit 2	bit 1	bit 0	nombre
0	0	0	0	0	0	0	0	0	+0
0	1	1	1	1	1	1	1	1	+127
1	0	0	0	0	0	0	0	0	-0
1	1	1	1	1	1	1	1	1	-127
1	1	0	0	1	1	0	1	1	-27

Nombre signé sur deux octets

L’intervalle de Z est donc [-2¹⁵+1 , 2¹⁵-1]=[-32767 , +32767]

Nombre signé sur quatre octets

L’intervalle de Z est donc [-2³¹+1 , 2³¹-1]=[- 2147483647 , + 2147483647

Nombre signé sur n octets

L’intervalle de Z est donc [-2^8n-1+1 , 2^8n-1-1]

Les problèmes des nombres signés.

Comme nous l’avons vu, le microprocesseur ne connaît que l’addition.

Le premier problème est donc de faire des soustractions binaires, comme les additions.
Le second est d’éviter les débordements (Overflow). Il ne faut pas sortir du nombre d’octets (ou de bits) attribué pour représenter un nombre, lors d’une opération.

Par exemple en représentation sur un octet, ajoutons 213 à 125 nous obtenons le nombre 338 qui est supérieur à 255, il y a donc débordement. En effet en binaire nous obtenons : 11010101+ 1111101= 101010010

Addition et soustraction en binaire

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Tables d’addition et de soustraction

0+0=0 ; 1+0=1; 1+1=10 (donc retenue dans ce cas)

1-0=1 ; 10-1=1;0-0=0 ; 1-1=0

Exemple sans débordement

Ajoutons les nombres 12 et 56 en binaire non signé sur un octet.

12+56=00001100+00111000=01000100=68

Exemple avec débordement

Ajoutons les nombres 143 et 209 en binaire non signé.

143+209=10001111+11010001=1 01100000=352

L’assembleur prévoit cette situation (Carry)

Mais en programmation, certains flags n’ont pas le même sens en arithmétique signée et en arithmétique non signée. Le programmeur doit donc savoir quels types de nombres il manipule.

Le complément à 2 sur n bits

Cette technique va permettre d’avoir une autre représentation binaire des nombres négatifs en arithmétique signée.

Le nombre est positif ou nul

On code le nombre en binaire pur sur n-1 bits. Le bit de signe est mis à zéro.

Le nombre est négatif

On code en binaire pur la valeur absolue du nombre sur n-1 bits
On complémente à 1 le nombre (Echange des 0 et des 1)
On complémente à 2, en ajoutant 1 (addition binaire)

exemples

Le complémentaire à deux permet de transformer une soustraction en une addition

Représentation sur un octet

Prenons le nombre 7. Sa représentation binaire sur 8 bits est 00000111.

Prenons le nombre -5. Sa valeur absolue sur 8 bits s’écrit 00000101.

On complémente à 1 ce qui donne 11111010

On ajoute 1 ce qui donne 11111011

Calculons 7-5=00000111+11111011= 100000010. Les huit derniers bits permettent bien de trouver 2, mais il y a un débordement (dernier bit ).

Autre exemple

Pour 40-22 on peut poser 101000-10110 faire la soustraction directement ce qui donne 10010 c'est-à-dire 18.

On peut aussi considérer que l’opération se fait sur 6 chiffres car 40 s’écrit en binaire sur 6 chiffres, et appliquer la régle des complémen-taires à 1 puis à 2 à -22, en tenant compte du zéro devant.

puis on ajoute 101000+101010 ce qui donne 1010010. Soit, en ne tenant compte que de 6 chiffres, 010010, c'est-à-dire 18

Représentation sur 4 bits

Nombre	Valeur absolue	Complémentarité à 1 si nombre négatif	Complémentarité à 2 (ajoutons 1)
0	0000		0000
1	0001		0001
2	0010		0010
3	0011		0011
4	0100		0100
5	0101		0101
6	0110		0110
7	0111		0111
-1	0001	1110	1111
-2	0010	1101	1110
-3	0011	1100	1101
-4	0100	1011	1100
-5	0101	1010	1011
-6	0110	1001	1010
-7	0111	1000	1001
-8	1000	0111	1000

Avec 8 nous aurions obtenons 1000 soit la même représentation que -8. Nous obtenons ainsi une représentation modulo 16

Exemples en TURBO PASCAL

Les nombres de type BYTE en Turbo Pascal illustrent les nombres non signés, et les nombres de type SHORTINT les nombres signés avec complémentarité à 2.

Seuls les nombres de type INTEGER sont normalisés et correspondent au Pascal Standard.

Multiplication et division binaire

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Tables

0*0=0 ; 0*1=0 ; 1*0=0 ; 1*1=1

Exemples

Calculer en binaire le produit des nombres 34 et 57 en base dix.

Code DCB

(Le DCB est donné à titre d’information. Il ne fait pas parti du programme de l’examen).

Signification : Décimal Codé Binaire.

Chaque chiffre du nombre est codé sur 4 bits

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001

Il en résulte que les combinaisons de 1010 à 1111 sont inutilisées.

Prenons par exemple le nombre 8362

8	3	6	2
1000	0011	0110	0010

DCB compacté

Deux chiffres par octet

Le nombre 8362 s’écrit sur deux octets 10000011 01100010

DCB non compacté

Un seul chiffre par octet

Le nombre 8362 s’écrit sur quatre octets 00001000 00000011 00000110 00000010

Opérations en DCB

Le résultat est inférieur ou égal à 10

Ajoutons les entiers naturels 5 et 3 en base dix.

5+3=0101+0011=1000=8 pas de problème

Le résultat est supérieur à 10

Ajoutons les entiers 7 et 6 en base dix.

7+6=0111+0110=1101. Cette représentation n’a pas de signification.

Or sur 4 bits ont peut représenter seize états. 6 de ces états n’ont pas de signification en DCB. Ajoutons 6 au résultat précédent :

1101+0110=10011 que l’on peut écrire 0001 0011 qui code 1 et 3 soit 13

Lorsque le résultat n’a pas de signification, il faut ajouter 6 (0110).

Exemple

Calculer en DCB 867+315

Premier nombre		8	6	7
Deuxième nombre		3	1	5
Premier nombre		1000	0110	0111
Deuxième nombre		0011	0001	0101
Somme DCB		1011	0111	1100
Correction (+6)		0110		0110
Nouvelle somme	1	0001	1000	0010
Traduction décimale	1	1	8	2

Représentation des réels

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Les informaticiens parlent de la représentation des réels par abus de langage. Toutes les représentations numériques étant limitées à n octets, seules certains nombres décimaux seront représentés (le nombre n d’octets étant choisi en fonction du nombre de chiffres significatifs souhaités). Les réels en informatique ne sont qu’un sous ensemble des nombres décimaux.

Représentation en virgule fixe

Les nombres sont représentés sous forme naturelle avec la précision prévue sur les parties entières et décimales.

La virgule n’a pas de réalité physique, elle correspond simplement à un rang.

Cette notation ne peut être utilisée que pour des nombres qui ont le même ordre de grandeur.

Par exemple, avec une précision de 4 chiffres sur les deux parties.

Nombre	Partie entière	Partie décimale
645	0645	0000
23,789	0023	7890
0,48515	0000	4851

Multiplication

Multiplication binaire

Multipliez en binaire 11 par 12

1011*1100=10000100 soit 132

Il est clair que si chaque nombre binaire est codé sur n bits, le résultat est codé sur 2n bits.

Si chacun de ces nombres binaires représente un nombre à virgule, le problème de la précision va se poser sérieusement.

Sur une calculatrice essayez l’algorithme suivant, qui part de n=2 et devrait aboutir à n=2.

Début

n=2;

Pour i de 1 à 50 faire

Fin du pour

Fin

Il est clair que la précision sur la multiplication risque d’être faible. Dans le cas extrême où les deux nombres utilisent toutes les décimales possibles, nous allons en perdre la moitié sur le produit.

Représentation en virgule flottante.

Cette représentation sera utilisée pour les nombres n’ayant pas le même ordre de grandeur et pour les représentations des ‘réels’ dans la majeure partie des langages.

Forme normalisée des réels

0,127=+0,127.10⁰ ; 34,12=+0,3412.10² ; -0,000757=-0,757.10^-3

Ainsi sous cette forme il faut retenir

· Le signe du nombre

· La mantisse

· Le signe de l’exposant

· L’exposant

Pour la codification sur n octets (n variant selon les machines et la précision souhaitée) ou pourra par exemple, réserver le premier octet pour l’exposant (le bit de poids fort étant le bit de signe de l’exposant) et les n-1 octets suivants étant utilisés pour la mantisse. Là encore le bit de poids fort est utilisé comme bit de signe de la mantisse.

Ce qui vient d’être dit est valable dans toutes les bases, en particulier en base 2.

Par exemple représentons, en virgule flottante, en base deux, le nombre 103 base dix.

-103=-1100111=-0,1100111*(2)⁽⁷⁾=-0,1100111*10¹¹¹

l’écriture sera :

Code EBCDIC

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(Ce type d’écriture n’est pas au programme de l’examen. Ce code est donné à titre d’information).

Signification : Extended Binary Code Decimal Information Code

Code utilisé par IBM. En fait, c’est une variation sur 8 bits du code DCB où tout est codifié comme étant des caractères :

Chaque octet est divisé en deux quartets. Si le premier quartet est 1111 alors le deuxième quartet représente un chiffre. Ainsi 1111 0010 représente le chiffre deux. Pour convertir 19 de EBCDIC en DCB : nous partons de 11110001 - 11111001 où :

1111 code un chiffre
0001 code le 1 et 1001 code le 9.

En supprimant les deux premiers quartets on obtient 00011001 qui est bien le DCB de 19

Exemples

Exercice 1

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Ecrire 157 en binaire signé sur deux octets.

Ecrire -157 en binaire signé sur deux octets

Ecrire 157 en DCB compacté sur 4 bits

Ecrire 157 en DCB non compacté.

Ecrire 157 en complémentaire à deux sur deux octets

Ecrire -157 en complémentaire à deux sur deux octets

Ecrire -1 en complémentaire à deux sur deux octets

Le Pascal utilise le complémentaire à deux pour représenter le type INTEGER

Ecrire l’INTEGER 32767 en binaire complémentaire à deux,sur deux octets.

Ajouter 1, pour avoir un débordement. Que trouvez-vous en binaire sur les deux octets ?

Ecrire un programme Pascal permettant de vérifier les écritures précédentes. Vérifier en utilisant l’adresse que l’octet de poids faible est écrit avant l’octet de poids fort.